Para iniciar la migracion debes descargar los archivos del sitio a migrar, sino los tienes puedes descargarlos en la cuenta donde está actualmente alojado el sitio. Descargas tus copias de seguridad desde el panel:

Acá encontraras las copias de seguridad de archivos del sitio y archivo de base de datos.

NOTA: Si estabas utilizando el correo electrónico gratuito incluido en tu cuenta, asegúrate de exportar tus mensajes e importarlos también a la nueva cuenta de alojamiento.

Si solo deseas migrar un unico sitio y tu hosting actual aloja varios sitios, puedes unicamente eliminar el dominio en cuestion siguiendo estos pasos:

Ahora por otro lado si solo tienes un unico dominio alojado, debes eliminar la cuenta de hosting por completo siguiendo estos pasos:

Una vez eliminado el dominio, ya puedes crear una cuenta de hosting con tu dominio nuevamente. Aquí te enseñams como hacerlo:
¿Cómo añadir un sitio web?

NOTA: No debes saltar el paso 2, de lo contrario no podrás crear la cuenta de hosting en el plan al que deseas migrar el sitio.

El siguiente paso será importar los archivos de tu sitio, para ello puedes hacerlo de dos formas:

Si tu sitio tiene base de datos debes crear la base de datos en el nuevo hosting primero, recuerda guardar estos datos para actualizar en tus archivos despues (nombre de la base de datos, usuario y contraseña):
¿Como crear una base de datos?

Hecho eso podrás importar el backup de la base de datos por medio dephpMyAdmin:

Hecho eso lo que falta seria ajustar el archivo de configuración de tu sitio para que tenga los datos de la nueva base de datos que has creado en el nuevo alojamiento. Para ubicar la ruta de tu archivo de configuracion es solo seguir estos pasos:
¿Dónde encontrar el archivo de configuración de mi sitio web?